SRT表示法
矩阵$M$可以使用$SRT$表示:
$$\overrightarrow{v}M = \overrightarrow{v} SRT = \overrightarrow{v} SR + \overrightarrow{T} $$非等比缩放
考虑如下情况:
$$ \begin{align} \overrightarrow{v_2} &= \overrightarrow{v_1} M_1\notag\\\\ &= \overrightarrow{v_0}M_0M_1\notag\\\\ &= \overrightarrow{v_1}S_1R_1 + \overrightarrow{T_1}\notag\\\\ &= (\overrightarrow{v_0}S_0R_0 + \overrightarrow{T_0})S_1R_1 + \overrightarrow{T_1}\notag\\\\ &= \overrightarrow{v_0}(S_0R_0S_1R_1) + (\overrightarrow{T_0}S_1R_1 + \overrightarrow{T_1})\notag \end{align} $$如果我们要将$M_0M_1$表示为$SRT$,那么说明$S_0R_0S_1R_1$可以表示为$SR$
如果$S_1$为等比缩放,那么$S_0R_0S_1R_1 = S_0S_1R_0R_1$
那么不是等比缩放呢？
问题转化为存在正交旋转矩阵$R$与缩放矩阵$S$,则$RS$能否表达为$S^{'}R^{'}$?
通过反证法来证明,考虑如下矩阵:
$$ S = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad R = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\\\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} $$假设存在$S'$和$R'$使得$RS=S'R'$
$$ \begin{alignat}{2} R' &= \begin{bmatrix} r'_{11} & r'_{12} & r'_{13} \\\\ r'_{21} & r'_{22} & r'_{23} \\\\ r'_{31} & r'_{32} & r'_{33} \end{bmatrix} &\quad S' &= \begin{bmatrix} s'_1 & r0 & 0 \\\\ 0 & s'_2 & 0 \\\\ 0 & 0 & s'_3 \end{bmatrix}\notag\\\\[2ex] RS &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & \sqrt{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\\\ 0 & \sqrt{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} &\quad S'R' &= \begin{bmatrix} s'_1r'_{11} & s'_1r'_{12} & s'_1r'_{13} \\\\ s'2r'_{21} & s'_2r'_{22} & s'_2r'_{23} \\\\ s'3r'_{31} & s'_3r'_{32} & s'_3r'_{33} \end{bmatrix}\notag \end{alignat} $$结合$RS = S'R'$与$R'$为正交矩阵可得:
$$ \begin{cases} 1 = s'_1 r'_{11} \\\\[2ex] 0 = s'_1 r'_{12} \\\\[2ex] 0 = s'_1 r'_{13} \\\\[2ex] r'^2_{11} + r'^2_{12} + r'^2_{13} = 1 \end{cases} $$ $\therefore s'_1 = \pm{1}$,同理可得:$s'_2 = \pm \frac{\sqrt{2}\sqrt{5}}{2}$与$s'_3 = \pm \frac{\sqrt{2}\sqrt{5}}{2}$ $$ \begin{align} \because det(AB) &= det(A)det(B) \quad RS = S'R' \quad det(S') = s'_1s'_2s'_3\notag\\\\[2ex] \therefore det(R') &= \frac{det(R)det(S)}{det(S')}\notag\\\\[2ex] &= \frac{1\times (1\times 2 \times 1)}{\pm{1}\times \frac{\sqrt{2}\sqrt{5}}{2}\times \frac{\sqrt{2}\sqrt{5}}{2}}\notag\\\\[2ex] &= \pm \frac{4}{5} \neq 1\notag \end{align} $$与$R'$为正交矩阵的假设不符.
分解矩阵为SRT
假设某个节点有n个祖先,其局部变换矩阵分别为$M_1,M_2,\cdots M_n$.
$$ \begin{align} M_{SRT} &= M_0M_1\cdots M_n\notag\\\\[2ex] M_{RT} &= R_0T_0R_1T_1\cdots R_nT_n\notag \end{align} $$从$M_{SRT}$中很容易分解出平移项,提取第四行元素即可
从$M_{RT}$中剥离平移,可以得到$M_R$矩阵,这个矩阵必须被转换为四元数或欧拉角
最麻烦的是提取缩放,首先将$M_{SRT}$中的平移项置零,得到$M_{SR}$.
然后通过如下公式计算缩放矩阵:
$$M_S = M_{SR}M_R^{-1} $$只需要从该矩阵中提取对角线的元素作为缩放,其余元素是产生倾斜(变形))的部分
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